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　　在對大型復雜結構的振動控制、結構系統故國學者也在有關方面進行了卓有成效的研究工障診斷和減振降噪及有限元模型修正等工作中 ,作[829] ,其中 Qu等提出的逆迭代動力縮聚法就是均會涉及到對大型結構的有限元模型進行降階這一種比較優秀的算法。隨著動力縮聚法研究的不一重要問題。繼 Guyan[ 1 ]和 Irons[ 2 ]于 1965年首斷深入 ,動力縮聚法所展現出的突出優點有可能先提出模型靜力縮聚法后 ,人們又研究、發展了有使它們替代傳統的基于子空間迭代的模型降階或限元模型動力縮聚法。 O’Callahan[ 3 ]于 1989年大型特征對計算法。盡管有些文獻中已從迭代的首先提出了“改進的縮減系統 ( IRS)法” ,這是一角度對有關算法的收斂性進行了分析和驗種在經典的 Guyan靜力縮聚法基礎之上發展出證[6,8] ,但是 ,到目前為止 ,從矩陣方程求解的角的動力縮聚法 ,可以更有效地對動力學模型進行度 ,對動力縮聚法收斂性進行嚴格論證的文章尚縮減。隨后 Friswell等對 IRS法進行了更深入未見到。本文利用 L yap unov矩陣方程和 Riccati的研究 [427] ,進一步提出了迭代的改進縮減系統 矩陣方程解的理論 ,對迭代動力縮聚法的收斂性( IIRS)法 ,有效地提升了 IRS法的計算精度。中進行了分析證明 ,并給出了迭代收斂的充分條件 ,
并對動力縮聚法與子空間迭代法之間的關系進行收稿日期 :2008201217 ;修訂日期 :2008204207了分析 ,論述了動力縮聚迭代法與子空間迭代法
基金項目 :國家自然科學基金 (10672078) ;航空支撐科技基金

(05D52009) ;國家 “863”計劃 (2006AA706103)各自的特點。通過一個數值例子 ,對幾種計算方
通訊作者 :汪曉虹 E2mail : wxhnj @nuaa. edu. cn法進行了對比。

1　動力縮聚法簡介
假設結構有限元模型的總自由度為 n,結構的剛度矩陣和質量矩陣是 n階實對稱、帶狀、正定矩陣 ,分別記為 K, M。在結構固有振動分析中 ,需要求解如下大型廣義特征值問題
KX = MXΛ (1)式中 :固有振型矩陣 X= [ x1　x2　.　 xn]滿足正交規范化條件
XT
KX = Λ

(2)
XT
MX = I 式中 :Λ = diag (λ1 ,λ2 , .,λn)為特征值矩陣 ,且 0<λ1<λ2< .<λn。通過適當地選取結構有限元模型的主、輔自由度 ,將其 n個總自由度分為 m個主自由度和 s個輔自由度兩部分 ,且 m ν s。記 Λmm = diag (λ1 ,λ2 , .,λm)是式 ( 1)的 m個最小特
征值矩陣 , Xm = Xmm 是相應的特征向量矩陣 ,
Xsm
則針對主自由度 ,由式 (1)可得
Kmm Kms
X
mm Λmm Ksm Kss

Mss Xsm
(3)假設 Xsm = RXmm ,稱 R為動力縮聚矩陣 ,代入式

(3),可得到一個
m階的小型特征值問題 [7 ]

KT Xmm = M T XmmΛmm (4)式中 : KT = TT KT ; M T = TT MT ;
I
并且 T=
R
XT

mm KT Xmm = Λmm

(5)
XT
mm M T Xmm = Imm 由此可知 ,只要能確定 R ,則可由求解小型特征值問題式 (4)獲得大型特征值問題式 ( 1)的前 m個低階特征對 ,從而實現對原系統的動力縮聚。
目前 ,對 R的求解主要有 3種方法。
11 1　IIRS法[427]
由式 (3)的第 2行及 Xsm = RXmm ,可得
( Ksm + Kss R) Xmm =( Msm + Mss R) XmmΛmm (6)聯立式 (4)和式 (6),得到 IIRS法的迭代公式為
R(i+1)= R(0)-1  Λ( i) 1
+ Kss ms + Mss R(i) ) X( i) mm (i)mm
( MT mm( X)-(i = 0 ,1 ,2 , .)(7a)也可寫為
R( i+1) R(0)-1  )-1K( i)
=+ K ( MT + Mss R(i)) ( M( i)
ss ms TT
(i = 0 ,1 ,2 , .)(7b)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
11 2　逆迭代動力縮聚法 [ 8]
做分解 : K= LDLT ,令
Cmm Cms
C =( LD1/ 2 )-1M ( LT 1 =
D1/ 2 )-Csm Css
將式 (1)改寫為 CXm =XmΛm -1 ,從而得到逆迭代動
力縮聚法的迭代公式為
R( i+1)  1
=( Csm + Css R(i)) ( Cmm + Cms R(i)) -
　　　　　 (i = 0 ,1 ,2 , .)
R( 0) = Csm Cmm -1

(8)
11 3　動力縮聚完全迭代法 [ 9]
由式 (3)的第 1行 ,得到
1

( Mmm + Mms R)
-1 ( Kmm = XmmΛmmX-mm
(9)
聯立式 (6)和式 (9),得動力縮聚完全迭代法的迭
1 1
[( MT + Mss R(i)) ( Mmm
ss ms  + Mms R(i)) -·
KT
( Kmm + Kms R(i)) -ms ]　　 (i = 0 ,1 ,2 , .)
(10)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
2　動力縮聚法的收斂性分析
目前 ,直接針對迭代方程式 ( 7)、式 ( 8)及式
(10)從矩陣方程求解的角度進行收斂性分析的研
究報道還未見到 ,本文主要針對該方面進行研究。要計算 R ,首先需要式 (11)～式 (13)都有解。
-1 -1 1
KT ( MT
R =-Kss ms + Kss ms + Mss R) XmmΛmmX-mm
(11)
R  =( Csm + Css R)( Cmm + Cms R)-1 (12) KT ( MT
ms + Kss R = ms + Mss R) ·
( Mmm + Mms R)-1 ( Kmm + Kms R)(13)式 (11)稱為 Lyap unov矩陣方程 ;式 ( 12)稱為非對稱的 Riccati矩陣方程 ;式 (13)為階數更高的關于 R的矩陣方程。它們是否有解與 R的系數矩陣的性質密切相關 ,需要滿足一定的條件 [10212 ]。
注意到式 (4)、式 (6)及式 ( 9)之間的關系 ,可知 IIRS法和動力縮聚完全迭代法均有共同的另一迭代形式 ,即
R(i+1) R(0)-1  Λ(i) )-1
=+ K( MT + Mss R(i) ) X(i) mm ( X
ss ms mm(i)mm因此 ,僅研究 IIRS法的迭代式 (7)和逆迭代動力縮聚法的迭代式 (8)的收斂性。
21 1　IIRS法的收斂性分析
-1  -1
記 Zmm =Mmm Kmm ,則 Zmm =XmmΛmm Xmm可將

式 (11)改寫為
-1 -1
( MT KT
R -Kss Mss RZmm = Kss ms Zmm -ms )(14)
　
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