由表 1和表 2可以看出 ,若取主自由度數(shù) m =5經(jīng) 4次迭代后 ,各種算法的前 3階計算的固有頻率結(jié)果是可以接受的 ,這與子空間迭代法的已有結(jié)論是吻合的 ,但逆迭代動力縮聚法的收斂效果要優(yōu)于其他方法。
以 IIRS法為例 ,取不同的主自由度數(shù) ,輔自由度數(shù) s = 85保持不變 ,迭代 4次后 ,對收斂的充
1 -1
分性條件 ρ(Kss -Mss )ρ( Mmm Kmm ) <1進行檢驗 ,結(jié)果如表 3所示。
表 3 IIRS法收斂性檢驗 Table 3 Convergence of IIRS method
自由度數(shù) m
譜半徑積
123 45
ρ(K-1 -1
ss M ss )ρ( Mmm Kmm ) 0184 3120 61 06 61 70 6172
由表 3可以看到 ,只有一階固有頻率的計算結(jié)果滿足收斂的充分性條件 ,而其他階未滿足理論上收斂的絕對要求。從頻率計算的絕對數(shù)值上也可以看到 ,IIRS法迭代 4次后一階固有頻率值為 801 652 954 506 909 rad/ s ,而全自由度有限元解的值為 801 652 949 446 267 rad/ s ,經(jīng)四舍五入后 ,小數(shù)點后 5位都相同 ,而此時其他各階計算結(jié)果最多精確到小數(shù)點后 2位相同。換句話說 ,上述迭代方式從理論上來講可以保證一階固有頻率收斂到理論上的精確解 ,而其他各階的計算結(jié)果則不能。不過從工程應用的角度而言 ,只要計算 結(jié)果收斂到一定的精度范圍 ,就可以接受了。但
從理論上講 ,各種動力縮聚法在不滿足收斂的充
分性條件下所得到的降階模型只能是近似的 ,不
可能通過提高迭代次數(shù)的手段達到精確結(jié)果。
圖 2所示的是上述算例中 ,取主自由度數(shù) m =5,在 IIRS法迭代過程中譜半徑積 ρ(Kss -1Mss ) · ρ( M-1
mm Kmm )隨迭代次數(shù)的變化關系。由圖 2可以看出 ,在迭代的初期 ,譜半徑積下降速率很大 ,但中后期逐漸變緩 ,這也預示著迭代收斂的效率逐漸變低。
1 -1
圖 2 譜半徑積 ρ( Kss -Mss )ρ( Mmm Kmm )隨迭代次數(shù)變化曲線 Fig12 Curve of spectrum radius ρ(K-1 )ρ( M-1 ·
ss Mss mm
Kmm ) is iterative number
5 結(jié) 論
對動力縮聚法的收斂性進行了理論分析和證明 ,給出了算法收斂要滿足的充分條件。從理論上講 ,只有動力縮聚過程滿足收斂的充分性條件 ,才能保證使迭代結(jié)果收斂到理論上的精確解。
參 考 文 獻
[1] GuyanRJ. Reductionofstiffnessandmassmatrices[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Jour2 nal , 1965 ,3 (2) :380.
[2] Irons B M. Structural eigenvalue problems —elimination of unwanted variables[J ]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal , 1965 , 3 (5) : 9612962.
[3] O’Callahan J . A procedure for an improved reduced sys2 tem (IRS) model[C] ∥Proceedings of 7th International Modal Analysis Conference. 1989 : 17221.
[4] MottersheadJ E, Friswell M I. Model updatingin struc2 turaldynamics:asurvey[J]. Journalof SoundandVibra2 tion ,1993 ,167 (2) : 3472375.
[5] Friswell M I , Garvey S D , Penny J E T. Model reduction
using dynamic and iterated IRS techniques[J ].Journal of Sound and Vibration ,1995 ,186 (2) :3112323.
[6] Friswell M I , Garvey S D , Penny J E T. The convergence of the iterated IRS method[J].Journal of Sound and Vi2 bration ,1998 ,211 (1) :1232132.
[7] Xia Y,LinRM. ImprovedontheiteratedIRSmethodfor structural eigensolutions[J]. Journal of Sound and Vibra2 tion ,2004 ,270 (4/ 5) :7132727.
[8] QuZQ,FuZF. Aniterativemethodfordynamicconden2 sation of structural matrices[J ]. Mechanical Systems and Signal Processing ,2000 ,14 (4) :6672678.
[9] 吳斌 ,禹建功 ,潘英 .一種新的結(jié)構(gòu)矩陣縮聚迭代法 [J ].北京工業(yè)大學學報 ,2006 ,32 (6) :4812484. Wu Bin , Yu Jiangong , Pan Ying. A new iterative method for condensation of structural matrices[J ]. Journal of Bei2 jing University of Technology , 2006 , 32 (6) :4812484. (in Chinese)
[ 10 ] Brandts J. The
Riccati algorithm for eigenvalues and in2 variant subspaces of matrices with inexpensive action[J ]. Linear Algebra and its Applications , 2003 ,358 (1) :3352
A survey of nonsymmetric Riccati equations
[J]. Linear Algebra and its Applications, 2002,3512352
(15) :2432270.
[ 12 ] 呂 興 .矩陣論 [M].北京 :航空工業(yè)出版社 ,1993. Lu Tongxin. The theoryof matrices [M]. Beijing: Avia2 tion Industry Press , 1993. (in Chinese)
[ 13 ] 曹志浩 .數(shù)值線性代數(shù) [M].上海 :復旦大學出版社 ,1996. Cao Zhihao.Numerical linear algebra[M].Shanghai: Fu2 dan University Press , 1996. (in Chinese)
[ 14 ] Matta K W. Selection of degrees of freedom for dynamic alalysis[J].Journalof PressureVessel Techno1ogy,1987, 109 (1) : 65269.
[ 15 ] 劉天雄 ,華宏星 ,石銀明 .結(jié)構(gòu)動力模型一體化降階技術
[J ].強度與環(huán)境 ,2003 ,30 (1) :31236.
Liu Tianxiong , Hua Hongxing , Shi Yinming. Study on
united model reduction method for dynamic model [J ].
Structure & Environment Engineering , 2003 ,30 (1) :322
36. (in Chinese)作者簡介 :汪曉虹 (1955 -) 女 ,博士 ,副教授。主要研究方向 :結(jié)構(gòu)動態(tài)設計、模型修正中的代數(shù)特征值問題。
Tel : 025284892032 E2mail :wxhnj @nuaa. edu. cn
曹立娟 (1980 -) 女 ,博士研究生。主要研究方向 :結(jié)構(gòu)動力學建模。
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