δ-1 [ Q1 Cms ( Q1 -Q2 )-( Q1 -Q2 ) Cms Q2 ]
取范數(shù)并注意到 δ=χ(φ1+φ2 ),有 ‖W ( Q1 )-W ( Q2 ) ‖≤
-
δ1 ( ‖Q1 Cms ‖ + ‖Cms Q2 ‖) ‖Q1 -Q2 χφ1 +φ1
(φ1 +φ1 ) ‖Q1 -Q2 ‖ = ‖Q1
δφ1 +φ2
因此 , W ( Q)是 S (φ1 )上的一個(gè)壓縮映射 ,則式
(20)有唯一解 R3 ∈S (φ1 )。因此 ,在滿足定理 5的條件下 ,式 (12)有唯一解 R ,下面就可給出用式 (8)迭代求解的條件。
將式 (1)改寫(xiě)為 CXm =XmΩm,設(shè)矩陣 C的特征值 μ1>μ2> .>μn >0 ,記 m個(gè)最大特征值矩陣為 Ωm = diag (μ1 , .,μm) ,對(duì)應(yīng)的正規(guī)化特征向
Xmm
量矩陣為 Xm =
,
Xsm
Cmm Cms
Xmm
Xmm
Ωm
則有
=
Csm Css
Xsm
Xsm
-1
記 R= Xsm Xmm ,由上式可推知 I
I
Cmm Cms -1
=
XmmΩm Xmm
Csm Css
R
R I
Cmm Cms
I
及
=
( Cmm +Cms R)
R
Csm Css
R
‖≤ -Q2 ‖
因此 ,為了分析逆迭代動(dòng)力縮聚式 (8)的收斂性 ,可轉(zhuǎn)換為研究式 (21)的收斂性。
R( i+1) Ω( i) X(i) -1 )-1
=( Csm mmmm + Css R(i)) ( X(i) m
(i = 0 ,1 ,2 , .)
R(0)
= Csm Cmm -1
(21)
將迭代式 (21)與 IIRS法迭代式 ( 7)比較 ,可知二者沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別 ,因此有類似的迭代收斂的條件 ,證明過(guò)程也完全類似。
3 子空間迭代法與動(dòng)力縮聚法之間的關(guān)系
關(guān)于子空間迭代法與逆迭代動(dòng)力縮聚法的關(guān)系 ,在文獻(xiàn) [8 ]
迭代法與 IIRS法的關(guān)系進(jìn)行討論。
m
Y(i+1)
Kmm Kms
mm
=
Y(i+1)
Ksm Kss
sm
由式 (22)的第 2行計(jì)算 Y(i+1)sm代入第 1行 ,令 X( i) R( i) X( i)
sm = mm
Y( i+1) R( i+1) Y(i+1) sm = mm
可得
Y(i+1)Kmm Y( i+1)
mm + Kms R(0) mm = ( R(0)) T ( Msm + Mss R(i) ) X(i) +( Mmm mm
mm + Mms R(i) ) X( i)
(23)利用式 (4)和式 (5),有
K(0)( T(0)) T
T= Kms + Kms R(0)= KT(0) M( i)
R= Mmm +( R(0)) TMsm + Mms R(i) +
( R(0)) TMss R(i) =( T(0)) T MT(0)則式 (23)簡(jiǎn)化為
(0) Y(i+1) X( i)
KTmm = M(i)Rmm (24)假設(shè) Y(i+1)mmmm
可逆 ,聯(lián)立式 (24)和式 (22),消去 Y(i +1) 項(xiàng) ,便得到 IIRS法的迭代式
R( i+1) R(0)-1 )-1K(0)
=+ Kss ( Msm + Mss R(i)) ( M(Ri) T
(25)
反之 ,用迭代式 ( 25)計(jì)算 R(i +1),按 IIRS法形成 , Y(i +1) R(i +1)
X(i)sm=R( i) X(i)mmsm =Y(i+1)mm,滿足子空間迭代式 (22),詳情可參見(jiàn)文獻(xiàn) [7 ]。
( i)
m = MXm
是經(jīng)過(guò) i次迭代后是待求的第 i +1次
m
Mmm M ms X( i) mm
Msm Mss X( i) sm
(22)
以上分析說(shuō)明 IIRS法實(shí)質(zhì)上是子空間迭代法的一種變形形式 ,因此它具有子空間迭代法的收斂速度。動(dòng)力縮聚法的主要優(yōu)點(diǎn)有 :不需要每個(gè)迭代步都求解一個(gè)小型特征值問(wèn)題 ,并且其初始迭代向量具有解析表達(dá)式 ,很容易求取。但其弱點(diǎn)是尚未成為大型動(dòng)力學(xué)分析軟件的標(biāo)準(zhǔn)算法 ,未得到實(shí)踐充分檢驗(yàn) ,計(jì)算中需要人為選擇主、輔自由度 [14215 ]。相反 ,子空間迭代法已十分成熟 ,已有標(biāo)準(zhǔn)的算法 ,且獲得了廣泛應(yīng)用 ,但該法在每個(gè)迭代步中均需求解一個(gè)小型特征值問(wèn)題 ,計(jì)算效率相對(duì)較低 ,且初始迭代向量需人為選定 ,這對(duì)迭代收斂方向和效果有重要影響。一般認(rèn)為 ,子空間迭代計(jì)算出的所有特征對(duì)中 ,僅前一半是可接受的 ,而動(dòng)力縮聚法尚無(wú)此方面的共識(shí) ,這是需要進(jìn)一步研究的。
4 數(shù)值算例
如圖 1所示 ,某 6層平面框架結(jié)構(gòu) ,其材料彈性模量 E =21 1 ×1010 830 kg/ m3A =01 2 m2
,采用 2節(jié)點(diǎn) 6自由度平面梁?jiǎn)卧獙?duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模 ,共劃分 32個(gè)節(jié)點(diǎn)、 36個(gè)單元、 90個(gè)自由度。現(xiàn)分別以 20 , 23 , 25 , 28 , 30這 5個(gè)節(jié)點(diǎn)處的水平自由度作為主自由度 ,其余 85個(gè)自由度為輔助自由度 ,進(jìn)行動(dòng)力縮聚計(jì)算 ,該算例取自文獻(xiàn) [ 8 ]。計(jì)算中共迭代了 4次 ,在子空間迭代中 ,選取的初始迭代向量為 X0 = [ e1 e2 e3 e4 e5 ],其中 , ei(i =1 , ., 5)為第 i個(gè)元素為 1 ,其余 89個(gè)元素為零的向量。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 1和表 2。
圖 1 6層平面框架及有限元模型節(jié)點(diǎn)劃分示意圖 Fig11 Six2story frame with defined finite element nodes
表 1 6層框架前 6階固有頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比
(單位 :rad ·s-1)
Table 1 First 6 natural frequencies of six2story frame by
different methods ( Unit :rad ·s-1)
固有頻率階次
方 法
1234 5
全自由度有限元解 801 65 2601 92 4901 82 7701 87 8111 84 IIRS法 801 65 2611 01 4961 15 7991 00 8651 26逆迭代動(dòng)力縮聚法 801 65 2601 92 4901 83 7761 50 8471 01子空間迭代法 801 65 2601 92 4911 00 7931 23 8911 25
表 2 6層框架前 6階固有頻率計(jì)算結(jié)果相對(duì)有限元解誤差對(duì)比 (單位 : %) Table 2 Relative errors of f irst 6 natural frequencies of six2story frame by different methods ( Unit :%)
固有頻率階次
中國(guó)航空網(wǎng) www.k6050.com
航空翻譯 www.aviation.cn
本文鏈接地址：航空學(xué)報(bào)08大飛機(jī)專刊(44)
