*
（&）’ *&+
+ ’ **
（"&）’ ),+ ’ ( *（ (&+）
+’ +’
由于 ,+ ’ (,+，& ’ (&，代入上式得
*
（"(&）’ ( *,+ ’( （&）
+ ’
即得：
（&）’ ( "
（(&）同樣，做或門結構故障樹的對偶樹，利用上述方法，可以驗證式（% -—）的第 個表達式的正確性。
（%）故障樹 的全部最小割集對應于其對偶樹 "的全部最小路集，故障樹 的全部最小路集對應于其對偶樹 "的全部最小割集，僅是事件要用其不相容事件替代而已。
（二）求最小路集
畫出相應的對偶樹。
•/.%•
"求對偶樹最小割集。
我們用上行法，得到
%& )&’ ’ ( %&( %&&( )&(&
) % &(&，’ ’ * %&) )( %&) )&&( )&(&
%&* )) %&* )&(&
+
（,） % * %（&* )&(&）（&) )&&( )&(&）
% &*&) )&*&&( )&*&(& )&(&)& )&&(& )&(&
% &*&) )&*&&( )&(&
所以對偶樹 -+的最小割集為：｛&*，&)｝、｛&*，&，&(｝和｛ &(，&｝。
("確定故障樹最小路集
將對偶樹 -+的各最小割集中的底事件換成其不相容事件，便得到故障樹 -的全部最小路集，它們是｛ &*，&)｝、｛&*，&，&(｝和｛ &(，&｝。
四、用最小割集和最小路集表示結構函數
（一）用最小割集表示結構函數設故障樹有 .*個最小割集，它們是 /*，/，.， /0。我們用二值隨機變量函數 12表示第 2個最小割集的狀態。當 12 %*，則該最小割集發生， 12 %3，該最小割集不發生。根據最小割集定義，只有當該最小割集中的全部底事件都發生（即它的底事件狀態變量全取 *值），這個最小割集才發生，也才能使結構函數 （ ,）%*。因此，最小割集狀態函數 12應為該最小割集各底事件狀態變量的邏輯積，即 12 % *&4（5 6 6）
4+/2
由于故障樹中只要至少有一個最小割集發生（即最小割集狀態函數值 *），就會導致頂事件發生，所以故障樹的結構函數 （ ,）可表示為它的各最小割休狀態函數的邏輯和，即
（,）% 2%* 2%* 4+12&4 （5 6 6(）
)012 % )0*
從上述看出，對于任意一棵由與門和或門組成的復雜故障樹，總可以簡化成只有兩層邏輯門（上層為或門，下層為與門）的簡化相干故障樹，稱為與門結構或門結合故障樹。簡化故障樹上層或門的輸入事件為各最小割集，輸入個數為最小割集數；其下層與門的輸入事件為每個最小割集的各底事件。
（二）用最小路集表示結構函數設故障 有 7個最小路集，它們是 8*，8，.87。我們引入二值隨機變量函數 " 2表示第 2個最小路集的狀態。 " 2 %3，表示該最小路集發生， " 2 %*，表示該最小路集不 •9((•
發生。根據最小路集定義可知，只有屬于該最小路集中的底事件全都不發生（即狀態變量取 值），該最小路集才發生，故得最小路集狀態函數為 " )&（’ () (*）
+%"
我們知道，一個最小路集表示系統正常的一種模式，只有全部可能的下常工作模式全不發生，即所有最小路集全都不發生，系統才出現故障，所以故障樹的結構函數 "（+）是最小路集狀態函數 "的邏輯積，即
"（+） *,"*,{ )& }（’ () (.）
"-"-+%"
因此，對于任意一棵由與門和或門組成的復雜故障樹，也總還可以簡化成只有兩層邏輯門（上層與門、下層或門）的另一查等價故障樹。上層與門的輸入事件為最小路集不發生的事件，有幾個最小路集就有幾個輸入；下層或門的輸入為每一個最小路集中各底事件，如圖 )/0 (-（1）所示的故障樹，它有三個最小路集 %-｛&-，&)，&0｝、 %) ｛&，&*｝、 %0 ｛&0，& ｝，所以它的等價故障樹也可如圖 ’ () ()所示。
-.
圖 ’ () ()2故障樹的等價故障樹
第四節 2故障樹分析程序舉例
故障樹分析的程序很多，這里僅就我們自己編制的 3456578程序做一簡單介紹。鑒于相干故障樹，通過邏輯門的等效變換，一般總可以簡化成由與門和或門組成的故障樹，所以我們僅就由與門和或門組成的故障樹進行分析。我們做了下列信息約定：
•90*•
———邏輯門個數；
" ———底事件個數（不超過 個）；
（%）———第 %個邏輯門信息，以三位數表示：
其中：&［%’（( )"）］—
—第 %個邏輯門的第 (個輸入量，沒有時添零；
*（ %）———第 %個底事件發生故障的概率。
中間變量與結果單元如下：
+（%，,）———第 %個“最小”割集，第 ,個底事件號碼，也兼作中間結果單元；
+" —
—一維數組單元，存放 +的一行元素（排序前的元素）；
+-—
—一維數組單元，存放 +的一行元素（排序后的元素）或最小割集并集中各
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